提升学生的数学核心素养:情境与问题的视角

摘要:数学素养的形成和发展离不开具体的情境与问题。数学情境包括现实情境、纯数学情境和科学情境，而问题是在这三种不同情境中蕴含的。情境与问题是数学抽象对象的来源、逻辑推理活动的背景、数学建模体验的素材、直观想象发展的谋介、数学运算处理的对象以及数据分析开展的前提。教师在数学教学活动中，可以从情境与问题的视角出发，启发学生进行数学思考，积累数学活动经验，逐步形成数学核心素养

关键词:数学核心素养;情境与问题;数学思考;数学活动经验

数学素养是学生个人成就与国家发展的影响因素之一，也是当前国际数学课程改革所围绕的热点。早在半个世纪以前，英国教育部请经济学家克劳瑟(Geoffrey Crowther)在1959年写了一份关于“15-18岁青少年的教育”的报告。在报告(CrowtherReport)中，克劳瑟依据语文读写能力(literacy)这个词创造出数学素养(numeracy)，并指出它与一般的读写能力同等重要「‘」。在美国，全美数学教师协会(NCTM)于1986年拟定学校数学课程改革任务时就提出，培养学生数学素养(mathe-matieal literate)的愿景，随后制定了一系列课程标准。此后，其他国家也相继提出数学素养的相关概念。

我国在新一轮高中数学课程改革中，同样提出要将发展学生的数学素养作为数学教育追求的目标。《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课程标准》)指出，高中数学课程目标集中体现为发展学生的数学核心素养，并将数学核心素养界定为:是数学课程目标的集中体现，它是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的总体现，它是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

《课程标准》指出，高中数学教学应该以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，强调创设合适的情境并提出问题对于启发学生思考、发展数学学科核心素养的重要性。

1、数学核心素养同情境与问题的关系

“情境”一词在不同的范畴中有不同的释义。在社会学中，“情境”是指个体在进行某种社会活动时所处的社会环境，它是个体产生社会行为的条件。在心理学中，“情境”表现为多种刺激模式、事件和对象等。在教育学中，“情境”一般指学生的学习情境，可以理解为学生进行学习活动时的一种环境和背景，它给学生提供思考的空间，是诱发学生提出问题并解决问题的一种刺激事件或信息材料。在数学教育中，数学情境则是产生数学概念、发现数学问题、提出数学问题和解决数学问题的背景、前提、基础和条件。数学问题则是在不同数学情境下，需要学生利用已有的数学知识和技能进行解答的问题，特指用数学语言表述的问题，它由条件、运算和目标等信息组成。在数学教学中，情境与问题总是紧密相连，共同构成学生数学活动的重要组成部分。数学创新源于数学问题，数学问题的产生离不开一定的数学情境，而数学情境的创设也是为了提出并解决相应的数学问题。因此，情境与问题是数学教学体系中的一个有机共同体。

数学情境与问题有不同的分类标准。国际PISA测试中将数学情境与问题分为个人情境、社会情境、职业情境和科学情境及其相应的问题。该分类根据学生在今后工作和生活中可能遇到问题的情境与问题由近及远地进行分类，以考查学生在面对这些情境时解决问题的能力。我国《课程标准》指出，数学学科核心素养体现在四个方面:情境与问题、思维与表达、知识与技能以及交流与反思。其中，数学情境包括现实情境、纯数学情境、科学情境，问题则是在这三种不同情境中蕴含的问题。现实情境一般指学生在现实生活中遇到的问题情境，大多由与学生密切相关的家庭生活、社会生活和即将遇到的职业生活中的问题构成。纯数学情境则是由经过抽象化的纯数学问题构成，这一情境面对的对象一般都是数学中的抽象概念和图形等，学生需要对这些抽象化的数学问题进行分析及解决。科学情境则是由离学生日常生活较遥远的科学实验、科学运动中可能面临的场景所构成的情境。每种情境又根据情境本身的复杂程度分成熟悉、关联和综合等三个类别，学生在不同的情境水平下解决相应的问题，则可认为达到相应的数学核心素养的水平。

六大数学核心素养是一个有机联系的整体，不是两两相互独立的独立素养，而是相互“交互”、相互“渗透”的。它们虽然是学生的内在品质，不易外显，但也并非独立于数学基础知识、基本技能以外的“神秘概念”，而是综合体现在“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”中，也综合体现在“发现、提出、解决与分析问题”中，是学生通过数学学习而形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。发展学生的数学核心素养，学校不能专门开设“核心素养培养课”对学生进行直接教授，它只能在教学中潜移默化地对学生进行渗透。在不同情境中解决问题的能力直接影响学生数学素养的形成和发展，情境与问题也搭建了学生数学核心素养发展的桥梁。因此，发展学生的数学核心素养需要从情境与问题的视角出发，给学生创造数学思考的条件，关注学生的思维过程，抓住数学的本质，依靠合适的情境与问题，启发学生独立思考，让学生在数学学习活动中逐步形成和发展数学核心素养。

2、情境与问题视角下的数学核心素养

2.1情境与问题—数学抽象对象的来源

恩格斯在《自然辩证法》中说，全部所谓纯数学都是研究抽象事物的。一切数学对象都是抽象思维的产物，内容的抽象性是数学最本质的特点，贯穿在数学产生、发展、应用的全部过程中。数学抽象素养是指能通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，主要包括从数量和图形及它们的关系中抽象出数学概念及其关系，从事物的具体背景中抽象引出量的关系和空间形式等本质属性。在数学的应用活动中，要求学习者能将所遇情境进行数学化和抽象化，并与已学数学知识相联系，最终利用数学知识解决问题、将问题还原回实际情况[4]。数量、图形和具体的事物都可以蕴含在数学情境与问题中，成为学生数学抽象的对象。因此，情境与问题是数学抽象对象的来源，数学抽象素养的形成离不开具体的情境与问题。

数学抽象素养要求学生能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，在关联的情境中抽象出更一般的数学概念和规则，在综合的情境中抽象出相应的数学问题，并能用恰当的数学语言进行表达。数学情境主要分为现实情境、纯数学情境和科学情境。在现实情境中的数学抽象主要指将学生学习、日常生活、社会生活或者将来的职业生活中遇到的事物或现象，摒弃其他非本质属性，直接抽象出相应的数学概念和规则的过程。例如，教师可以让学生将“行程问题”中的时间和路程抽象出数学函数，将生活中常见的器皿抽象成几何体等，这些都是创设生活中常见的情境让学生进行抽象，其得到的数学概念也是与实际生活场景直接相关的;纯数学情境中的数学抽象则是在纯数学情境中，在已有数学抽象物的基础上进一步抽取出量的关系或空间形式方面的本质属性的过程。例如，在已有“函数”这个概念的基础上，让学生在由函数构成的纯数学情境中抽象出“函数单调性”这一新的概念。纯数学情境中数学抽象的对象虽然大部分已经与实际生活中的直接经验脱离，但这一抽象过程依然依赖于现实生活情境中数学抽象后得到的“数学抽象物”，根植于客观的现实世界中。科学情境中的数学抽象主要是指将科学实验或者科学客观现实中遇到的事物或现象进行抽象的过程。例如，教师可以让学生观察钟摆、弹簧等的周期运动，抽象出刻画其运动的函数。培根指出，数学是通往科学大门的钥匙，在科学情境中进行数学抽象更能让学生体会数学应用的广泛性，数学不会因为其不断增加的抽象性而与现实世界脱离，反而能与复杂的科学研究和科学情境紧密相连。

2.2情境与问题—逻辑推理活动的背景

数学是一门具有严密公理化体系且十分严谨的学科，逻辑推理是数学严谨性的基本保证，也是人们在数学活动中进行交流所需要的基本思维品质。逻辑推理素养是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要包括两类:从特殊到一般的归纳推理;从一般到特殊的演绎推理。这里的“事实和命题”指现实和科学情境中遇到的事实、场景和数学情境中蕴含的数学命题。学生在进行逻辑推理活动时，一般处在具体的情境与问题背景下，针对不同的逻辑推理问题进行分析和推理。可见，情境与问题是进行逻辑推理活动的背景，逻辑推理素养是建立在情境与问题基础上的。

逻辑推理素养需要学生能够在熟悉的情境中用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质及其相关关系;能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言进行表达，并理解、归纳和类比在发现和提出数学命题中的重要性;能够在综合的数学情境中，用数学眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题。

发展学生的逻辑推理素养，在现实情境、数学情境和科学情境中有不同的方法。在现实情境中，教师可以借助一些学生在日常生活中常见的事物，让学生归纳其中的性质和相关关系，并用逻辑方法进行论证。例如，井盖为什么是圆的，而不是方的;易拉罐为什么是圆柱形的，而不是长方体的;等等。在数学情境中，教师则可让学生借助抽象的数学公式、概念和规则，进行形式化的逻辑推理或论证;在科学情境中，教师可以给出一些物理、生物或者化学的实验结果，让学生利用逻辑推理的规则和方法对这些实验的结果进行分析，提出相应的问题或总结出相应的结论，由此培养学生用数学眼光观察世界、用数学方式思考世界的能力。

2.3情境与问题—数学建模体验的素材

廖辉辉、史宁中和朱丹红指出，数学的基本思想包括抽象、推理和模型，模型体现了数学应用的广泛性[[5]，数学建模正是这种模型思想的体现。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决现实生活中问题的素养，主要强调数学知识在现实世界情境中的应用。数学建模的过程包括从数学的视角发现和提出现实世界中的问题，分析并建立模型，检验、完善模型，最终用模型解决实际问题。数学模型是数学应用在现实世界中的最直接的体现，它搭建了数学与外部世界的桥梁，也能让学生体会数学与实际生活的紧密联系。

数学建模是对现实问题的数学抽象，许多数学建模的素材都来源于现实世界中的情境与问题。因为现实世界的复杂性，数学建模素养的培养较其他素养培养更为重视学生所面对的情境，尤其是复杂情境中的数学模型和相关关系。

中小学阶段的学生对现实世界复杂情境中诸多影响因素的理解、分析还不够成熟，不能像大学生一样直接给一个复杂的、综合的现实问题让其建模，但教师可以从一些简单的、学生常见的情境和问题出发，培养他们运用数学思维思考现实情境中问题的能力。在现实情境中，教师可以创设与学生生活息息相关的情境与问题让学生建模，如根据存款利率选择存款方式、根据商场促销活动选择购买方案等，这些都是学生熟悉的、蕴含数学模型的实际生活情境。在纯数学情境中，教师也可以让学生对数学对象之间的关系进行数学建模，例如，教师可以让学生对两组变量数据进行分析并拟合出相应的函数，让他们体会在纯数学情境中建立函数模型的过程。在科学情境中，教师可以给出一些简单的科学研究的情境，例如，生物中的体重与脉搏频率、体重与体积之间的关系模型，可给出相应的数据，让学生用模型思想进行分析并提出问题，建立模型。值得注意的是，中小学阶段的数学建模素养的培养，应该让学生体会熟悉情境中完整的数学建模过程，让他们不断地模仿数学建模的过程，积累数学建模的经验，直至在面对复杂的现实问题情境时，能够进行完整的、有意义的数学建模。

2.4情境与问题—直观想象发展的谋介

直观，是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。在数学中的直观素养通常指几何直观，即是借助于见到的(或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量关系进行直接感知、整体把握的能力。想象则是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造、形成新形象的心理过程，它是一种特殊的思维形式。数学中的想象通常指对客观事物的空间形式进行想象的过程。培养学生的直观能力和想象能力均是数学教育的重点任务，想象能力同时还是培养学生创新思维的前提，因此直观想象素养对学生终身的发展尤为重要。直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形来理解并解决数学问题的能力。培养学生的直观想象素养，同时也是培养学生的数形结合能力、几何直观能力和空间想象能力。

直观想象的最终目的是让学生形成数学直观能力，能在具体的情境中感悟事物的本质，这自然需要依靠具体的情境与问题，让学生体验直观想象的过程。直观想象要求学生能够在熟悉的情境中抽象出实物的几何图形，体会实物、图形和数量三者间的关系，并能借助图形的性质和变换发现数学规律。在关联情境中，想象并构建相应的几何图形，借此提出数学问题，探索图形和数量的关系及其运动规律。在综合情境中，借助图形通过直观想象提出数学问题。

在不同的情境中，直观想象的培养有不同的方法。在现实情境中，教师可以借助既与数学对象有关联又是学生实际生活情境中常见的事物或现象让学生进行直观想象。例如，将学生周围的十字街道想象成横纵坐标轴，周围的建筑就是坐标系上的点，让学生在此基础上利用平面直角坐标系计算建筑物间的距离关系等，让他们感知直观想象在日常生活中的应用。在纯数学情境中，应着重创设数形结合的情境。例如，将不等方程与两个函数的图像关系进行联系，将方程的解与函数同横轴的交点进行联系等，让学生借助与数学对象有关联的纯数学情境中的符号或图形进行想象并分析、解决抽象的数学问题。在科学情境中，科学研究者们常常利用直观想象抽象出几何图形，再分析几何图形间的数量关系，教师可以创设这样的情境与问题，让学生进行分析和解答。例如，在中国古代的天文测量中，常常将骼(一种麦秆)直立在水平地面上，研究骼的影长与太阳照射角度的关系，根据影长来估算地球与太阳的位置变化，教师可以提供给学生相应的科学背景，让学生画出简图，并进行分析。在情境与视角下的教学活动，可通过不同情境下提出不同层次的问题，激发学生不断地进行直观想象，将数学对象和情境中的事物联系起来，积累相应的活动经验，逐渐形成和发展直观想象素养。

2.5情境与问题—数学运算处理的对象

数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。它不同于一般意义上的数学计算能力，不仅要求学生能够理解运算对象，利用运算法则进行准确的计算，还要求学生能够提出运算问题或者将复杂问题转化为运算问题并解决。数学运算素养主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路以及求得运算结果。数学运算素养应该是每一个公民都需要掌握的基本素养，它与我们的生产、生活息息相关，大到宇宙飞船的航行速度，小到菜市买菜，都需要数学运算素养。它不仅可以帮助我们运用运算方法解决实际问题，还可以促进我们数学思维的发展，养成严谨的科学精神。

数学运算是解决不同情境中纯数学问题和实际生活问题的基本手段，具体情境中蕴含的问题是数学运算活动中需要处理的对象，解决不同情境中的具体问题也是培养数学运算素养的目的之一。发展学生的数学运算素养，要求学生能够在熟悉的情境中了解运算对象，提出运算问题并解答;能够在关联情境中确定运算对象，提出并解答运算问题;能够在综合情境中，把复杂问题转化为运算问题，确定运算对象，明确运算方向，探究运算思路，设计运算程序并解答。

数学运算的对象多样，有简单的数字计算，也有复杂的数学式子和方程计算，甚至极限、微积分和微分方程的计算。因此，其涉及的数学情境和问题也多种多样。在现实情境中，教师可以创设一些与学生的生活经历相关的运算问题。例如，计算商场促销时哪种商品折扣最大，计算本地区人口增长的速度，等等。在这些常见的、熟悉的情境中引出问题，让学生在解决问题的过程中熟悉运算的对象和法则，不断地探究运算的思路。在纯数学情境的数学运算中，教师可以将抽象后的数学对象作为运算对象，在此基础上给学生创设情境，让他们完全脱离现实生活，进行纯数学情境的数学运算，如解方程式和求极限等。在科学情境中，数学运算的使用也越来越广泛和深入，教师可以让学生进行航天器运行速度的相关简单计算，让学生能够感知数学运算在科学中的重要作用，也能让学生知道良好的数学运算素养在科技生产和生活中都是必不可少的。

爱因斯坦说过，教育无非就是将一切已学过的东西都遗忘后所剩下来的东西。对于数学教育而言，遗忘的东西是那些具体的数学知识和内容，剩下的是学生所具有的数学素养。数学素养是一种内在的思维品质和能力，它很难直接地被观察，只有将这种内在的思维品质和能力转化为外在的行为时，教师才能观察到学生数学素养形成和发展的情况。将数学素养同具体的情境与问题相连，观察学生在解决问题中的表现，可以有效地评价学生的素养水平。同时，通过创设不同的情境和问题，让学生在日积月累的数学学习中，不断地进行数学思考，积累数学活动的经验，水滴石穿，厚积薄发，数学素养的培养自然就水到渠成了。教师在教学设计时，应该着重考虑数学素养的培养，创设与数学素养相关的情境并设计问题，根据学生解决问题的情况评价学生的数学素养水平，为后续的教学奠定基础。

参考文献:

[1]张侨平.西方国家数学教育中的数学素养:比较与展望[J].全球教育展望，2017(3).

[2]吕传汉，汪乘弄.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2002(4).

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[4]康文彦，刘辉.培养学生数学抽象核心素养的几种途径[J].教育探索，2017(5).

[5]廖辉辉，史宁中，朱丹红.数学基本思想、核心素养的内涵及教学[J].福建教育，2016(26).

[6]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式—对《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012(7).