培养学生数学抽象核心素养的几种途径

摘要:数学抽象是数学学科素养中最重要的素养。数学抽象的心理学过程分为认识一内化一应用等三个阶段。教师在教学过程中可以与之对应地从概念、总结、类比能力以及数学应用能力等途径实现培养目标。而在教学模式上，也可以采用翻转课堂、项目学习和开展数学实验等形式使学生在深度学习中形成对数学抽象能力的培养

关键词:数学抽象;核心素养;培养途径;教学模式

1、概念界定

所谓抽象，通常是指从众多的事物中抽取出共同的和本质性的特征，而舍弃其非本质特征的

思维过程。数学抽象(mathematical abstraction则是指在数学活动中，抽取出一般的基本概念、本质特征以及运算规律等数学属性的思维过程。数学抽象是一种高级的数学思维能力，也是数学能力的核心。数学抽象能力具体表现为:发现在普遍现象中存在差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力，等等方面。

2、数学抽象的作用

作为数学能力的核心，数学抽象在数学核心素养中占据最重要地位。甚至可以说，数学抽象是数学核心素养的基础。一方面，数学学习过程中需要学习者具备一定的抽象概括能力。由于数学具有抽象性和概括性的特点，学习者只有具备一定程度的抽象概括能力，才能对数学对象的认知实现质的飞跃[3]。另一方面，数学的应用过程也对学习者的数学抽象素养有一定的要求。在数学的应用活动中，要求学习者能将所遇情境进行数学化和抽象化，并与已学数学知识相联系，最终利用数学知识解决问题并将问题还原回实际情况。这一系列的活动都是建立在数学抽象基础上的，所以，教师在教学活动中要特别注重对数学抽象能力的培养，从而使学生在数学的学习过程中能迅速抓住本质，提升学习效率。

3、数学抽象的心理学过程

对于数学内容学习的一般顺序是先了解概念，然后理解概念的内涵和外延及数学内容的功能与应用条件，最后将数学内容应用于实践。我们将这三个阶段归纳为认识过程一内化过程一应用过程。

3.1认识过程

认识过程是学习者对一些基本数学概念和数学方法的初步了解过程。在这个过程中，教师将抽象的数学理论传输给学生。为了达到好的传输效果，教师往往将抽象的内容具体化，结合学生现有的学习经验和认知水平，将教学重心作用于学生的最近发展区。在认识过程中，教师或学习者将数学内容具体化，与自己的认知建立联系，这是一个由抽象到具体的过程。

3.2内化过程

学生在学习新的数学内容时，根据教师的讲解或自己的阅读，结合自己的学习经验对相关概念进行解读，将具体化的知识和原有的知识进行比对联系，了解新知识要点、适用条件和适用范围，最后将所学知识高度抽象后纳入自己的知识体系中。在此过程中，会产生新旧知识的联系与冲突、知识的误解和盲区，这些都有利于促进学生对知识的理解。内化过程就是由具体到抽象的过程。

3.3应用过程

在数学知识的应用过程中，学生首先要将应用的具体情境抽象化，然后根据自己的认知判断，

将自己已经内化的内容进行筛选、调取并与之相关情境进行适配。在此过程中，要将抽象的内容具体化，并用于解决问题，问题解决完毕，再将实际问题进行抽象。一方面，将抽象的结果应用于实践;另一方面，在自身的认知水平中，将抽象内容进行一定的纠正和强化。应用过程是高度数学抽象过程，在这个过程中，抽象与具体连续反复地转化，但主要还是由抽象到具体再到抽象的过程。

4、数学抽象的培养途径

根据数学抽象的心理发展过程，我们可以在三个环节中采取合适的方法，加强其对数学抽象能力的培养。

4.1注重概念教学

在概念教学中，教师往往由于时间的限制，通常只对概念做简单的介绍和必要的说明，最后用大量的时间对概念进行应用并希望在此过程中使学生能加深对概念的理解。然而，按照这样的概念教学模式，学生对概念的理解往往局限于初步了解和应用，对学生抽象概括能力方面的培养收效甚微。数学概念能反映事物最本质的属性，而概念的形成正是高度抽象和概括的过程，对概念的理解过程正是对这种抽象概括内容的剖析过程。在教学中，教师需启发和引导学生体验对事物属性经过抽象概括提炼成概念的过程，每个问题应符合学生的最近发展区，从而使学生在对新知识的探索过程中容易和已有知识相联系，从而正确认识数学对象的本质。一种比较有效的做法是在概念教学中，教师首先应该鼓励学生自主学习，在对概念有初步了解后，再通过教师提问和小组讨论的形式引导学生对概念中的要点做一定的思辨。教师可以鼓励学生用自己的理解和语言复述概念，然后教师可以通过一定的习题和小组展示巩固学习成果。从这样类似于翻转课堂的学习过程中培养学生抽象概括能力的做法往往更加科学而有效。

4.2注重知识间的联系

新课改以来，虽然数学学科的各个模块相对独立，但相互之间还是有一定联系的。一方面，教师在数学教学过程中要善于抓住一个章节以及不同章节、不同模块的知识点间的联系，让学生感知它们之间的本质特征，通过寻找知识间的联系来提升数学抽象能力;另一方面，教师也应该培养学生的自主总结能力，从总结规律的过程中锻炼其数学抽象能力。

首先，在每节课或者一个章节学习完毕后，教师可以引导学生对所学内容进行总结和概括。可以用画思维导图寻找本章知识的发展与联系的方法，也可以通过知识点和思想方法的归纳对本章知识进行总结的方法。这种概括不但是对所学知识的复习和巩固，而且从中能督促学生对所学知识进行提炼，以锻炼学生的抽象概括能力。

其次，教师在讲授概念时也可以联系以前所学的相关内容引导学生进行类比推理，从中锻炼学生的数学抽象能力。比如，可以进行平面几何的性质与立体几何的性质之间的类比、等差数列与等比数列之间的类比、计数原理中分类和分步的类比等。这样的学习方式不仅能提高学生的学习兴趣、提升学生的数学学习质量，还能给学生提供锻炼数学抽象概括能力的途径。

最后，教师可以引导学生通过一些实例挖掘和总结其中的规律，从而得到结论。比如，在学习三角函数的诱导公式时，教师可以先示范终边落在第一象限的角的三角函数值和与之关于纵轴对称的终边所对应角的三角函数值之间的关系得出“公式二”，然后让学生找出其他几种对称关系并得出其他几个公式，最后将公式放在一起引导学生进行对比，启发学生从中归纳出“奇变偶不变，符号看象限”的结论。

4.3在应用中提升数学抽象概括能力

数学知识的魅力在于应用。在应用中，一方面帮助学生巩固对知识本身的认知;另一方面，可以锻炼学生综合应用能力和培养学生的学科素养。在实践中，学生需要将新问题、新情境与已学知识相联系，将实际问题抽象成数学模型然后加以解决。在这个过程中，学生的抽象概括能力能得到充分锻炼。教师可以通过以下三种方式创设应用情境。

4.3.1变式练习

变式练习是指教师在学生原有认知的基础上，对所认知内容进行一定的改变，让学生进行重新认识，从中检验、巩固和锻炼学生的认知水平。对于概念，教师可以改变概念中的部分关键词，让学生进行辨析，从而理解概念中的每个关键词的作用;对于题目，教师可以改变其中的部分条件，使学生在相似的情景下认清题意的本质，从而选择合适的模型进行解答。在教学过程中，教师可以通过一题多解，引导学生从不同思路、不同角度认识问题，将同一问题抽象为不同模型，也可以在多题一解中培养学生的归纳和概括的能力。

4.3.2探究性问题

探究性问题，也即探索性问题和开放性问题，是新课改背景下的常见考察方式之一。这种问题的解决需要对所给出的问题进行观察、想象、类比和猜测，最后进行检验。这种解决问题的过程与抽象概括的过程很类似，因此，探索性问题的解决能有效地训练学生的思维，培养学生的抽象概括能力。比如，在双曲线外一点，过该点的直线与双曲线有几个交点?解决这个问题，就需要学生观察点的位置来想象通过的直线有哪些情形。这个过程在抛物线中有类似情境，学生可以类比尝试得出结论，最后结合双曲线的性质进行检验。

4.3.3数学建模

区别于一般意义上的数学建模，这里所说的数学建模可以从两个角度进行认识。一是从题目中总结数学解题模型，为同类型题目的解答提供通用模型。这要求学生在解决多个题目后从实践中总结出通用的步骤和方法，从而形成模型。在模型的应用中，要注意模型中哪些内容是核心的，哪些条件是可以改变的。二是将生活中遇到的实际问题抽象成数学模型的数学建模。学生根据自己的兴趣，根据自身所处环境，从实际生活中选择研究对象进行问题提炼，并加以解决。这就是将生活实际问题进行抽象的过程。在研究和解决问题的过程中，需要将实际问题转化为数学模型，这就是数学抽象的实践应用。学生根据抽象模型利用相关数学知识解决问题，其中，既可能渗透数学学科多个模块的知识，也可能涉及跨学科的知识。这就能极大地培养学生的创新精神和探究意识，也是一种培养学生抽象概括能力的有效策略。

5、培养数学抽象能力的教学策略

5.1采取翻转课堂教学模式

翻转课堂的最大特点是能充分发挥学生自主学习的积极性。在学习之初，学生通过自主学习对数学知识进行初步了解，然后结合自己的认识对其进行初步应用，通过应用来检测自己对知识的认知情况。一旦在应用过程中出现冲突，则通过自我反思或与同学、教师的交流进行知识的重新认识。在课堂中，教师根据学生的自主学习情况提出学生认识的冲突点，并引发学生讨论，在讨论和教师的指导中，学生将知识进行抽象归纳，这是对知识深入理解的过程，最后学生对知识进行应用。在这个过程中，学生可将抽象的知识应用于实践，用来巩固和深化抽象的知识。

5.2采取项目学习的方式进行教学

项目学习可给学生提供基于挑战性问题或难题的复杂任务。在这个过程中会涉及教师推动下而非指示下的学生的问题解决、决策、调查技能以及反思。项目学习是一种在解决问题中进行学习的教学方式，在项目学习的过程中，学生需要对具体问题进行抽象，然后应用抽象的思维和数学方法解决问题。在实践过程中，情况更加复杂，因为项目所给的任务可能需要多学科合作完成，这对学生抽象思维的要求更高。项目学习虽然形式上强调学生对知识的应用，但学生在解决问题时要不断地调取已经学到的知识和即时学习新的需要用到的知识，并对知识进行应用。

5.3开展数学实验教学

数学实验是具体与抽象最直接的作用过程。数学实验通过直观形象的情景体现数学规律和数学现象，学生既可以通过观察进行知识的理解，也可以改变实验条件理解不同因素的影响和作用。比如，通过观察旗杆和地面的垂直变化来理解直线与平面垂直的性质甚至是判定定理，通过椭圆的画法来理解椭圆概念中的重要词句，通过上机编程实验来验证语句的作用和运算符优先级的验证，等等。在实验中，学生可将具体情境抽象化，并作用于自己的认知，也能将自己的抽象认识进行实验验证，以保证抽象认识的准确性与灵活性。

参考文献：

[1]张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012(1):68-69.

[2]王成营.数学符号意义及其获得能力培养的研究[D].武汉:华中师范大学博士学位论文，2012.

[3]曹才翰.中学数学教学概论[M].北京:北京师范大学出版社，1990:125.

[4]都建英.高中生数学抽象概括能力的调查与研究[D].石家庄:河北师范大学硕士学位论文，2014.